Hierna worden de diverse hoofdstukken, met hun conclusies, kort beschreven.
Een tussenweg die veel helpt bij het modelleren van inflatie is het
toelaten van fractionele integratie (FI). Deze fractionele integratie
wordt bereikt door in het AutoRegressive Integrated Moving Average
(ARIMA) model van , dat geschreven kan worden als
|
In inflatie reeksen zijn er enkele waarnemingen die achteraf een zeer langdurig effect gehad blijken te hebben, namelijk de waarnemingen rondom het begin en einde van de oliecrises. Hoofdstuk onderzoekt, eerst in een simulatie, wat het effect is van een veranderend gemiddelde van de reeks op de schatting van de parameter d, die de graad van integratie weergeeft. Vervolgens wordt voor de maandelijkse inflatie reeksen van de G7 landen een variërend gemiddelde toegelaten in het model. Uit de simulatie blijkt dat het veronachtzamen van een verandering in het gemiddelde een te hoge schatting voor d oplevert. Voor de G7 landen vinden we dat de mate van integratie sterk daalt, zo sterk dat bij Canada en Japan er geen significante fractionele integratie meer overblijft ([^d] » 0). Om dit effect te bereiken zijn in principe twee breuken in het gemiddelde, in juli 1973 en juli 1982, voldoende. Het blijkt vrij weinig uit te maken voor de parameter d om twee extra veranderingen van het gemiddelde, tussen de twee oliecrises in, in juli 1976 en januari 1979, toe te staan.
Het daaropvolgende hoofdstuk, hoofdstuk 3, bouwt voort op deze resultaten . Het schatten van modellen voor inflatie op zichzelf kan een interessante exercitie zijn, maar voor een beleidsmaker wordt het pas echt van belang zodra er een voorspelling voor de toekomstige inflatie uit voortkomt. Nu blijkt dat de keuze voor een stationair model met d=0, een geïntegreerd/niet-stationair model met d=1 of een fractioneel geïntegreerd model met een geschatte [^d] veel uitmaakt voor de onzekerheid van de voorspelling. Deze voorspelonzekerheid komt tot uitdrukking in de breedte van het voorspelinterval. Vooral als er meer dan enkele maanden, tot bijvoorbeeld twee jaar vooruit voorspeld wordt, heeft de parameter d een grote invloed op de breedte van het voorspelinterval. Hoe groter de waarde voor d, des te breder is het voorspelinterval; voor het geïntegreerde ARIMA(1,1,1) model worden deze intervallen tè groot geschat.
Het bepalen van voorspelintervallen voor Amerikaanse basisinflatie (i.e., inflatie exclusief het effect van veranderingen in voedsel- en energieprijzen) wordt uitgevoerd voor een reeks van modellen. Zowel kort-geheugen ARMA(1,1), geïntegreerde ARIMA(1,1,1) en lang-geheugen ARFIMA(1,d,1) modellen passeren de revue. Daarbij worden diverse verklarende variabelen als de korte rente, de werkloosheid en/of het verschil tussen de lange en korte rente opgenomen (de modellen worden dan aangeduid als ARFIMAX modellen, met de X voor eXplanatory, voor de verklarende variabele). Op korte termijn, bij een voorspelling tot ongeveer 3/6 maanden vooruit, dragen de verklarende variabelen bij aan de precisie van de voorspelling. Op langere termijn blijkt dit effect niet sterk of zelfs afwezig te zijn.
Uit de schatting blijkt dat de geschatte residuele variantie van de modellen veel groter, tot een factor 2.7 keer groter aan toe, te zijn dan de werkelijke variantie van de residuen over de evaluatie periode 1984:01-1999:11. Tijdens het regime van de centrale bank-presidenten Volcker en Greenspan fluctueert de inflatie duidelijk minder dan tijdens de oliecrises, en ook iets minder dan in de jaren zestig. In secties 3.3 en 3.4 wordt gecorrigeerd voor de variërende variantie, door drie verschillende variantieregimes te veronderstellen. Waarnemingen uit voorbije perioden worden minder zwaar meegewogen, zodat deze minder invloed op de schattingsresultaten zullen hebben. Het effect van deze aanpassing is dat de residuele variantie inderdaad beter geschat wordt, alhoewel vooral het ARFIMA(X)(1,1,1) model nog steeds een te groot voorspelinterval oplevert bij langere-termijn voorspellingen.
In de Bayesiaanse benadering van de statistiek is iedere parameter onzeker, en heeft bijgevolg een kansverdeling. Voordat er gegevens tot onze beschikking staan wordt deze kansverdeling de prior- of vóór-verdeling genoemd. De prior-verdeling omschrijft onze kennis aangaande de parameter die we vooraf, uit de structuur van het model of uit eerdere soortgelijke onderzoeken hebben. Na het waarnemen kan de prior-verdeling aangepast worden tot de posterior- of na-verdeling.
Deze beknopte inleiding brengt ons tot het onderwerp van hoofdstuk 4: de Bayesiaanse simulatietechnieken. Voor slechts enkele modellen is het mogelijk om analytisch de na-verdeling te bepalen op grond van de vóór-verdeling en de data. In andere gevallen zullen numerieke technieken gebruikt moeten worden. De simulatietechnieken die in dit hoofdstuk besproken worden dienen om de verdeling van de parameters te bepalen. Ook omvat het hoofdstuk een onderdeel (sectie 4.4) waarin het concept van de marginale aannemelijkheid (marginal likelihood) wordt uitgelegd. Deze marginale aannemelijkheid, in het hoofdstuk aangeduid als logaritme met log-m, kan dienen om modellen te vergelijken wat betreft hun aanpassing aan de data. Het berekenen van de log-m is in veel gevallen een lastig karwei. Diverse berekeningsmethoden zoals deze bekend, maar niet veel gebruikt, zijn, worden besproken en vergeleken in sectie 4.4.
Het laatste deel van het hoofdstuk past de diverse simulatietechnieken toe op een eenvoudig model, dat in uitgebreide vorm in hoofdstuk 5 weer op zal duiken. In het voorbeeld worden diverse eigenschappen van de technieken, zoals correlatie tussen de trekkingen en duur van de berekeningen, becommentarieerd. De marginale aannemelijkheid wordt op vele manieren berekend, voor twee varianten van het model, en de numerieke precisie van de berekeningsmethoden wordt geëvalueerd. Eenvoudige berekeningsmethoden van de marginale aannemelijkheid op basis van een LaPlace of kernel benadering van de na-verdeling blijken een goede precisie op te leveren.
Het kan aantrekkelijk zijn om het wisselkoers risico af te dekken. Een gangbaar instrument hiervoor is het forward contract, waarbij, kort gezegd, de onzekere koersverandering ingewisseld wordt voor het zekere verschil tussen de rentestanden in de beide landen. Het onderliggende hoofdstuk, dat deels is gebaseerd op het artikel van , introduceert state space (of toestands-ruimte) modellen die zo goed mogelijk de trendmatige bewegingen in de trend en de variantie van de wisselkoersen proberen te volgen en voorspellen. Aan de hand van deze modellen, acht in getal, wordt een voorspelverdeling voor de wisselkoers één dag vooruit bepaald, die als invoer dient voor een optimalisatie proces waarbij een power nutsfunctie geoptimaliseerd wordt.
Deze analyse wordt uitgevoerd op de wisselkoersen tussen de Duitse mark en de dollar, en tussen de Japanse yen en de dollar (in beide richtingen, zowel voor de DM/USD en Yen/USD als voor de USD/DM en USD/Yen koersrisico's). Uit de bepalingen van de marginale aannemelijkheid blijkt een model met variërend gemiddelde en stochastisch variërende variantie het beste te voldoen voor de wisselkoers tussen DMark en dollar. Voor de yen/dollar reeks blijkt het lastiger te zijn een goed model te vinden; het belangrijkste is om rekening te houden met uitbijters door het opnemen van een Student-t verdeling voor de storingsterm. Daarnaast helpen het variërend gemiddelde en een GARCH proces voor de variantie ook om een betere aanpassing van het model aan de data te krijgen.
De resultaten zijn het sterkst voor de wisselkoers tussen de mark en de dollar. Deze reeks levert een optimaal model op met meer voorspellende kracht dan het model voor de yen/dollar data. De modellen die het best scoorden op de marginale aannemelijkheid blijken ook goed te werken bij het afdekken van de koersrisico's, alhoewel voor de yen/dollar en dollar/yen analyse blijkt dat een risicomanager die vrij tolerant is ten opzichte van risico ook kan kiezen een zogenoemd Local Level model te hanteren, omdat dit model iets beter in staat is een signaal te filteren uit de wisselkoers data.
De modelresultaten worden vergeleken met resultaten van drie deterministische strategiën, te weten: